Lời Dặn Vàng Từ Thầy
Số hữu tỉ là bài học quan trọng. Dưới đây là 8 chuyên đề lý thuyết trọng tâm, mỗi chuyên đề đều có công thức và ví dụ minh họa — các em đọc kỹ trước khi luyện tập!
1. Tập hợp ℚ - Số hữu tỉ
Định nghĩa: Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng $\dfrac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z}$ và $b \neq 0$. Tập hợp các số hữu tỉ kí hiệu là $\mathbb{Q}$.
Mọi số nguyên, số thập phân hữu hạn, hỗn số, phân số đều là số hữu tỉ.
Ví dụ:
• $0 = \dfrac{0}{1} \in \mathbb{Q}$; $-5 = \dfrac{-5}{1} \in \mathbb{Q}$
• $0,4 = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} \in \mathbb{Q}$; $-2\dfrac{1}{3} = -\dfrac{7}{3} \in \mathbb{Q}$
• $1,5 = \dfrac{3}{2} \in \mathbb{Q}$ nhưng $1,5 \notin \mathbb{Z}$, $1,5 \notin \mathbb{N}$
2. So sánh hai số hữu tỉ
Phương pháp: Viết hai số dưới dạng hai phân số cùng mẫu dương, rồi so sánh tử.
Nếu $a < b$ thì $\dfrac{a}{m} < \dfrac{b}{m}$ (với $m > 0$)
Ví dụ: So sánh $\dfrac{-3}{4}$ và $\dfrac{-4}{5}$
• Quy đồng mẫu 20: $\dfrac{-3}{4} = \dfrac{-15}{20}$; $\dfrac{-4}{5} = \dfrac{-16}{20}$
• Vì $-15 > -16$ nên $\dfrac{-15}{20} > \dfrac{-16}{20}$, vậy $\dfrac{-3}{4} > \dfrac{-4}{5}$.
Mẹo: Với hai số âm, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì bé hơn. VD: $-3 < -2$ nhưng $|-3| > |-2|$.
3. Cộng, trừ số hữu tỉ
Viết hai số dưới dạng phân số cùng mẫu dương, rồi cộng (trừ) tử, giữ nguyên mẫu.
$\dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{a+b}{m}$ • $\dfrac{a}{m} - \dfrac{b}{m} = \dfrac{a-b}{m}$
Ví dụ: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}$
• Quy đồng mẫu 12: $\dfrac{6}{12} + \dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12}$
• $= \dfrac{6 + 4 - 3}{12} = \dfrac{7}{12}$
Bẫy: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}$. Phải quy đồng mẫu!
4. Nhân, chia số hữu tỉ
$\dfrac{a}{b} . \dfrac{c}{d} = \dfrac{a . c}{b . d}$ • $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} . \dfrac{d}{c} = \dfrac{a . d}{b . c}$ (với $c \neq 0$)
Ví dụ:
• $\dfrac{2}{3} . \dfrac{-5}{7} = \dfrac{2 . (-5)}{3 . 7} = \dfrac{-10}{21}$
• $\dfrac{2}{3} : \dfrac{-4}{5} = \dfrac{2}{3} . \dfrac{5}{-4} = \dfrac{10}{-12} = -\dfrac{5}{6}$
Số nghịch đảo: Số nghịch đảo của $\dfrac{a}{b}$ là $\dfrac{b}{a}$ (với $a, b \neq 0$).
5. Lũy thừa của số hữu tỉ (TRỌNG TÂM)
Định nghĩa: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\dfrac{a}{b} . \dfrac{a}{b} . \ldots . \dfrac{a}{b}}_{n \text{ thừa số}} = \dfrac{a^n}{b^n}$
6 CÔNG THỨC VÀNG:
1) $x^m . x^n = x^{m+n}$
2) $x^m : x^n = x^{m-n}$ ($x \neq 0$, $m \geq n$)
3) $(x^m)^n = x^{m . n}$
4) $(x . y)^n = x^n . y^n$
5) $\left(\dfrac{x}{y}\right)^n = \dfrac{x^n}{y^n}$ ($y \neq 0$)
6) $x^0 = 1$ ($x \neq 0$); $x^1 = x$
1) $x^m . x^n = x^{m+n}$
2) $x^m : x^n = x^{m-n}$ ($x \neq 0$, $m \geq n$)
3) $(x^m)^n = x^{m . n}$
4) $(x . y)^n = x^n . y^n$
5) $\left(\dfrac{x}{y}\right)^n = \dfrac{x^n}{y^n}$ ($y \neq 0$)
6) $x^0 = 1$ ($x \neq 0$); $x^1 = x$
Ví dụ cụ thể:
• $(-2)^3 . (-2)^2 = (-2)^{3+2} = (-2)^5 = -32$
• $\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 : \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{5-3} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$
• $\left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\right]^3 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2 . 3} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^6 = \dfrac{64}{729}$
• $(0,5)^2 . 2^2 = (0,5 . 2)^2 = 1^2 = 1$
Quy tắc dấu:
• Lũy thừa bậc CHẴN của số âm → số DƯƠNG. VD: $(-2)^4 = +16$.
• Lũy thừa bậc LẺ của số âm → số ÂM. VD: $(-2)^3 = -8$.
• Bẫy chết người: $-2^2 = -(2^2) = -4$, còn $(-2)^2 = +4$. Khác nhau hoàn toàn!
• Lũy thừa bậc CHẴN của số âm → số DƯƠNG. VD: $(-2)^4 = +16$.
• Lũy thừa bậc LẺ của số âm → số ÂM. VD: $(-2)^3 = -8$.
• Bẫy chết người: $-2^2 = -(2^2) = -4$, còn $(-2)^2 = +4$. Khác nhau hoàn toàn!
6. Quy tắc dấu ngoặc
Bỏ ngoặc:
• Trước ngoặc có dấu +: giữ nguyên dấu các số hạng.
$x + (y + z - t) = x + y + z - t$
• Trước ngoặc có dấu −: đổi dấu TẤT CẢ số hạng.
$x - (y + z - t) = x - y - z + t$
• Trước ngoặc có dấu +: giữ nguyên dấu các số hạng.
$x + (y + z - t) = x + y + z - t$
• Trước ngoặc có dấu −: đổi dấu TẤT CẢ số hạng.
$x - (y + z - t) = x - y - z + t$
Ví dụ:
$5 - (3 - 7 + 2) = 5 - 3 + 7 - 2 = 7$
$-(a - b) + (-a + b) = -a + b - a + b = -2a + 2b$
Bẫy: Đặt dấu ngoặc trước dấu trừ: $a - b + c = a - (b - c)$. Phải đổi dấu khi đưa vào ngoặc!
7. Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu + đổi thành − và ngược lại.
$x + y = z$ → $x = z - y$ • $x - y = z$ → $x = z + y$
Ví dụ: Tìm $x$ biết $\dfrac{3}{2}x - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{2}x$
Bước 1. Chuyển $\dfrac{1}{2}x$ sang vế trái (đổi dấu):
$\dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}x = \dfrac{4}{5}$
Bước 2. Thu gọn: $1 . x = \dfrac{4}{5}$
Kết luận: $x = \dfrac{4}{5}$
8. Dạng chuẩn khoa học $a . 10^n$
Để viết số rất lớn, người ta dùng dạng $a . 10^n$ với $1 \leq a < 10$.
Quy tắc: Đưa hệ số về khoảng $1 \leq a < 10$ bằng cách dịch dấu phẩy, bù số mũ tương ứng.
Ví dụ:
• $143,9 . 10^7 = (1,439 . 10^2) . 10^7 = 1,439 . 10^9$
• $13,8 . 10^8 = (1,38 . 10^1) . 10^8 = 1,38 . 10^9$
• $331 . 10^6 = (3,31 . 10^2) . 10^6 = 3,31 . 10^8$
Bẫy: Nếu $a \geq 10$ (như $13,8$ hay $331$) thì chưa chuẩn. Phải đưa về $1,38$ và $3,31$!
Lọc:
Bấm Lời Giải Chi Tiết để xem trình bày từng dòng!